ikrest
-
04:28:05 pm on November 27, 2007 | # |
NESTANDARDNA ANALIZA
Izmislio ju je logičar Abraham Robinson i ona obeležava novi stupanj razvoja u nekoliko slavnih i drevnih paradoksa. Robinson je oživeo pojam „infinitezimala” – broja koji je beskonačno malen a ipak veći od nule. Koncept je još iz Antike. Tradicionalnoj, ili „standardnoj” analizi on se činio eklakantno kontradiktoran sâm sebi. Ipak je to bilo važno oruđe u mehanici i geometriji, u najmanju ruku još od Arhimedovih vremena.
U devetnaestom veku infinitezimali su prognani iz matematike jednom za svagda, ili se barem tako činilo. Da bi se zadovoljili zahtevi logike, Karl Weierstrass je preformulirao infinitezimalni račun Newtona i Leibniza bez infinitezimala. Ipak, upravo današnja matematička logika, sa svom svojom savremenom sofisticiranošću i snagom, oživela infinitezimalni račun i učinila ga ponovo prihvaćenim. Robinson je u nekom smislu opravdao lakomislenu razuzdanost matematike osamnaestog veka pred uštogljenom strogošću matematike devetnaestog veka, dodajući novo poglavlje u neprestanom ratu između beskonačnog i konačnog, kontinuiranog i diskontinuiranog.
U kontroverzijama oko infinitezimalnog koje su pratile razvitak diferencijalnog i integralnog računa, Euklidova geometrija bila je standard prema kojemu se sve moderno merilo. U Euklida su beskonačno i infinitezimalno hotimično izostavljeni. Tako je tačka nešto što ima položaj ali nema veličine. Tu su definiciju nazivali besmislenom, ali možda je to jamstvo da se ne koriste infinitezimalni argumenti. To bi bilo odbacivanje prijašnjih koncepata u antičkoj misli. Demokritov atomizam je bio zamišljen da se odnosi ne samo na materiju već i na vreme i prostor, no onda su Zenonovi argumenti učinili neodrživom ideju o vremenu kao o nizu uzastopnih trenutaka, ili o pravcu kao nizu uzastopnih „nedeljivosti”. Aristotel, utemeljitelj sistematske logike, prognao je iz geometrije beskonačno veliko i maleno.
Evo tipičnog primera upotrebe infinitezimalnih argumenata u geometriji:
Želimo pronaći odnos između površine kruga i njegovog opsega. Zbog jednostavnosti pretpostavimo da je radius kruga 1. Kružnicu možemo smatrati sastavljenom od beskonačno mnogo ravnih segmenata, svaki jednak drugome i beskonačno kratak. Onda je krug zbroj infinitezimalnih trougla, koji svi imaju visinu 1. Površina trugla jednaka je kvadratu polovine baze i visine. Stoga je zbir površina trokuta jednak polovini broja baza. Ali zbir površina trougla je površina kruga, a zbir baza trugla je opseg. Stoga je površina kruga sa radijusom 1 jednaka polovini njegovog opsega.
Ovaj argument koji bi Euklid odbacio, objavio je u petnaestom veku Nikola iz Kuesa (1401-1464). Zaključak je, naravno, istinit, ali nije teško preonaći prigovore argumentaciji. Ideja trougla sa beskonačno malom bazom je u najmanju ruku neuhvatljiva. Zasigurno baza trougla mora imati dužinu ili nula 0, ili veću od nule 0. Ako je dužina nula 0, onda je povržina nula 0, i bez obzira na to koliko sumanada zbrojili, ne možemo dobiti ništa osim nule 0. Sa druge strane, ako je veća od nule, bez obzira na to koliko malena bila, dobit ćemo beskonačno veliku sumu ako zbrojimo beskonačno mnogo sumanada. Ni u kom slučaju ne možemo dobiti krug konačnog opsega kao zbroj beskonačno mnogo jednakih delova.
Bit ovakvog pobijanja je tvrdnja da čak i vrlo malen broj različit od nule, postaje po volji velik ako ga dodajemo samome sebi dovoljno mnogo puta. Kako je tu tvrdnju prvu učinio eksplicitnom Arhimed, naziva se Arhimedovim svojstvom realnih brojeva. Infinitezimali, beskonačno male veličine, ako postoje, bili bi upravo nearhimedovski brojevi: brojevi veći od nule 0, koji uprkos tome ostaju manji od, recimo 1, bez obzira na to koliko ih (konačno) mnogo puta dodavali same sebi. Arhimed, radeći prema tradiciji Aristotela i Euklida, utvrdio je da je svaki broj Arhimedov broj; nema beskonačno malih brojeva. Arhimed je, međutim, bio i filozof prirode, inžinjer i fizičar. Služio se beskonačno malim veličinama i svojom filzikalnom intuicijom da bi rešavao probleme geometrije parabola. Stoga je, budući da beskonačno malene veličine „ne postoje” dao strogi dokaz svojih rezultata, služeći se metodom iscrpljivanja (ekshaustije), koja se oslanja na neizravnu argumentaciju i čisto konačne konstrukcije. Strogi je dokaz dao u raspravi O Kvadraturi Parabole, koja je pozanata još od antike. Upotreba beskonačno malih veličina, koja je zapravo poslužila da bi se našao odgovor, nalazi se u raspravi pod naslovom O Metodi, koja je bila nepoznata sve do senzacionalnog otkrića 1906.god.
Arhimedova metoda iscrpljivanja, koja izbegava beskonačno male veličine, po duhu je bliska „epsilon-delta” metodi kojom su Weierstrass i njegovi sledbenici u devetnaestom veku prognali infinitezimalne metode iz analize. Lako ju je objasniti na našem primeru sa krugom, ako na krug gledamo kao na poligom sa beskonačno mnogo stranica. Želimo dobiti logički prihvatljiv dokaz formule: „Površina kruga sa radijusom 1 jednaka je polovini opsega”, a do koje smo došli logički neprihvatljivim argumentima.
Rasuđujemo ovako. Formula ustanovljuje jednakost dviju veličina vezanih uz krug radijusa 1: njegove površine i polovine njegovog opsega. Stoga će, ako je formula pogrešna, jedna od tih veličina biti veća od druge. Neka je A pozitivan broj dobijen oduzimanjem manje veličine od veće. Oko kruga možemo opisati pravilni poligon sa onoliko stranica koliko želimo. Budući da se poligon sastoji od konačno mnogo konačnih trouglova sa visinom 1, znamo da je njegova površina jednaka polovini njegovog opsega. Učinimo li da je broj stranica dovoljno velik, možemo postići da se površina poligona razlikuje od površine kruga za manje od polovine A (ma kolika bila vrednost od A); istovremeno će se opseg poligona razlikovati od opsega kruga za manje od polovine A. Ali onda se površina kruga i polovina njegovog opsega moraju razlikovati za manje od A, što protivreči pretpostavci od koje smo krenuli. Stoga je pretpostavka nemoguća, pa A mora biti nula 0, kao što smo i želeli dokazati.
Ova je argumentacija logički besprekorna. Međutim, u poređenju sa izravnošću prve analize, u njoj ima nečeg preteranog, čak i sitničavog. Na koncu, ako nam upotreba beskonačno malih veličina daje tačan odgovor, zaR argumentacija ne bi morala biti u nekom smislu ispravna? Čak i ako ne možemo opravdati sve koncepte kojima se služi, kako možemo biti u krivu ako to radi?
Ovakvu odbranu infinitezimala nije dao Arhimed. Naprotiv, u delu O Metodi, on se trudi da objasni kako „činjenica koja je ovde iznesena nije stvarno i dokazana korištenim argumentima” , i navodi da je strogi dokaz objavljen odvojeno. Sa druge strane, Nikola iz Kuesa, koji je bio kardinal, više je volio rasuđivanje sa beskonačnim veličinama jer je verovao da je beskonačno „izvor i sredstvo, a istovremeno i nedostižni cilj, sveg znanja”. Nikolin misticizam je sledio Kepler, jedan od utemeljitelja moderne nauke. U delu koje je danas manje poznato negoli njegova astronomska otkrića, Kepler je 1612.g. koristio infinitezimale da bi pronašao najbolje proporcije za vinsku bačvu. Nisu ga zabrinjavale samokontradikcije u njegovoj metodi; oslanjao se na božansko nadahnuće, i napisao je da „priroda uči geometriju samo instinktom, čak i bez racionalizacije”., štaviše, njegove su formule za volumen vinskih bačvi tačne.
Najslavniji matematički mistik bio je, bez sumnje, Pascal. Odgovarajući svojim savremenicima koji su se protivili rasuđivanjima sa beskonačno malim veličinama, Pascal je volio reći kako srce interveniše da bi delo bilo jasno. Pascal je na beskonačno veliko i malo gledao kao na misterije, nešto što je priroda dala čoveku ne da bi razumeo, već da bi se divio.
Do punog procvata infinitezimalnog računa, došlo je sa generacijama nakon Pascala: sa Newtonom, Leibnizom, braćom Bernoulli (Jakob i Johann), i Leonard Eulereom. Osnovne teoreme diferencijalnog i integralnog računa našli su Newton i Leibniz 60-tih godina sedamnaestog veka. Prvi udžbenik iz diferencijalnog i integralnog računa napisao je 1696 god. markiz de l’Hospital , učenik Leibniza i Johanna Bernoulia. On na samom početku postavlja kao aksiom da se dve veličine koje se razlikuju za infinitezimalnu veličinu, mogu smatrati jednakima. Drugim rečima, te se veličine istovremeno smatraju jednakima i nejednakima! Drugi aksiom tvrdi da je krivulja „sveukupnost beskonačno mnogo ravnih segmenata, od kojih je svaki beskonačno malen”. To je otvoreno prihvatanje metoda koje je Aristotel stavio izvan zakona dve hiljade godina pre. „Zaista”, pisao je L’Hospital , „obična analiza bavi se samo konačnim veličinama; ova prodire sve do same beskonačnosti. Ona uspoređuje beskonačno male razlike među konačnim veličinama; ona otkriva odnose između tih razlika i na taj način obznanjuje odnose između konačnih veličina koje su, takoreći, beskonačne u poređenju sa beskonačno malenim veličinama. Moglo bi se čak reći da se ta analiza proteže i dalje do beskonačnosti, jer se ne ograničava samo na beskonačno male razlike nego otkriva i odnose među razlikama tih razlika”. Newton i Leibniz nisu delili L’Hospitaleovo oduševljenje. Leibniz nije tvrdio da infinitezimali zaista postoje, samo da se može rasuđivati bez pogreške kao i da postoje. Premda Leibniz nije mogao potkrepiti svoju tvrdnju, Robinsonov nam rad pokazuje da je u izvesnom smislu ipak bio u pravu. Newton je nastojao izbegavati infinitezimale. U Principia Mathematica su, kao i u Arhimedovom delu O Kvadraturi Parabole, rezultati, koji su izvorno pronađeni infinitezimalnim metodama, predstavljeni na čisto konačan, euklidovski način.
Dinamika je postala jednako tako važna kao i geometrija u postavljanju pitanja za matematičku analizu. Vodeći je problem bila veza između „fluensa” i „fluksa”, nečega što bismo danas nazivali trenutnimpoložajem i trenutnom brzinom tela koje se giba.
Promotrimo kamen koji pada. Njegovo se kretanje opisuje prikazujući njegov položaj kao funkciju vremena. Kako pada, tako se njegova brzina povećava, pa je brzina u svakom trenutku takođe varijabilna funkcija vremena. Newton je nazivao funkciju položaja „fluens” a funkciju brzine”fluks”. Ako je zadana bilo koja od njih, druga se može odrediti; ta je veza srž infinitezimalnog računa koji su stvorili Leibniz i Newton.
U slučaju kamena koji pada, fluens je dat formulom s=4.9t2,gde je s broj metara koliko je kamen duboko pao nakon t sekundi pošto je ispušten. Kako kamen pada njegova se brzina jednoliko povećava. Kako možemo izračunati brzinu padajućeg kamena u nekom vremenskom trenutku, recimo za t = 1?
Mogli bismo naći prosečnu brzinu za neko konačno vreme pomoću elementarne formule: brzina je jednaka udaljenosti podeljenoj sa vremenom. Možemo li se poslužiti tom formulom da bismo našli trenutačnu brzinu? U infinitezimalnom porastu vremena porast udaljenosti takođe bi bio infinitezimalan; njihov omer, prosečna brzina tokom jednog trenutka, trebala bi biti konačna trenutačna brzina koju tražimo.
Neka dt označava infinitezimalni prirast vremena, a ds odgovarajući prirast udaljenosti. (Naravno, ds i dt valja promatrati kao jedinstvene simbole, a ne kao d puta t ili d puta s. Želimo naći omer ds/dt, koji mora biti konačan. Da bismo naššli prirast udaljenosti od t = 1 do t = 1+dt, izračunat ćemo položaj kamena u času t = 1, što je 4.9 * 12 = 4.9, i njegov položaj u času t = 1+dt, što je 4.9 * (1+dt)2. Uz pomoć malo elementarne algebre, nalazimo da je ds, prirast udaljenosti, što je razlika između te dve udaljenosti, jednak 9.8dt + 4.9dt2. stoga je omer ds/dt, što su veličina koju nastojimo naći, jednak 9.8 + 4.9 dt.
Jesmo li rešili problem? Budući da bi odgovor trebao biti konačna veličina , ispustićemo infinitezimalni član, 4.9 dt i dobiti odgovor da je u času t = 1, trenutna brzina 9.8 m/s. Upravo ono što nam biskup Barkley neće dopustiti.
The Analyst, briljantna i razarajuća kritika infinitezimalne metode, objavljena je 1734.godine. upućena je Edmundu Halleyu, Newtonovom prijatelju koji je finansirao Principie…
„Pozvaću se na privilegiju slobodnog mislioca”, pisao je biskup, „ i uzeti si slobodu da ispitam cilj, načela i metode dokazivanja koje dopuštaju današnji matematičari, sa istom slobodom sa kojom se vi usuđujete postupati s načelima i tajnama Religije”. Berkley tvrdi da je Leibniyov postupak, kojim jednostavno „smatra” da je 9.8 + 4.9 dt „isto” što i 9.8, nejasan. „Niti bi bilo dovoljno” pisao je „ reći da je to (zanemareni član) krajnje mala veličina; budući da nam govore da in rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi. Ako se nešto zanemaruje, ma kako maleno bilo, ne možemo više tvrditi da smo dobili tačnu brzinu, već samo aproksimaciju.
odalisque 10:00 pm on December 2, 2007 | # |
zsnimljivo. mislim nisam proccitala, samo bacila oko. pa spominjess svassta zanimljivo. mraccni ste. rekla sam ivanu. a i izgleda da imam pogressan tvoj broj mob. buaaaaaaaaaaaaa